Muster primzahlen

Forscher in Princeton haben eine Ähnlichkeit zwischen den Mustern von Atomen in bestimmten kristallartigen Materialien und Primzahlen entdeckt. Hier bezeichnen rote Punkte nicht-primare Zahlen und schwarze Punkte primzahlen, die als « Atome » behandelt werden. Bild mit freundlicher Genehmigung der Forscher Beseitigung aller k, Produkt der Gleichung (5), der Rest k wird nur Primzahlen der gegebenen Form der Gleichung (3) enthalten und wie es in Abbildung 1 gezeigt wird. Beachten Sie, dass das Anfangsmuster durch die Primierungen 5 und 7 angegeben wird, so dass die Zellen in den Zeilen [1] [2] [3] [4] [5] aus Spalte 6k 1 mit Primläen und Zeilen [1] [2] [3] aus Spalte 6k + 1 mit Primierungen belassen werden. Anschließend ergeben diese Primzahlen die zusammengesetzten Zahlen N k nach Gleichung (5), so dass andere verschiedene Reihen, in denen es Primzahlen geben wird, dieses Muster bis ins Unendliche fortbesteht. Der theoretische Chemiker und Princeton-Professor Salvatore Torquato erkannte dies: Was wäre, wenn Primzahlen und diese Quasikristallmuster etwas gemeinsam hätten? Es schien wie ein langer Schuss, aber zusammen mit seinem Studenten Ge Zhang und dem Zahlentheoretiker Matthew de-Courcy-Irland stellte Torquato rechnerisch die Primzahlen als eine Reihe von Atomen und Licht dar, die von ihnen abstreut. Die Ergebnisse, die in drei Arbeiten (1, 2, 3) veröffentlicht wurden, zeigen, dass dies tatsächlich der Fall war: Quasikristalle erzeugen Streumuster, die der Verteilung von Primzahlen ähneln. Dies sei « anders als alles, was wir bisher gesehen haben » und impliziert, dass Primzahlen « eine völlig neue Kategorie von Strukturen » sind, wenn sie als physisches System betrachtet werden, sagte Torquato dem Quanta Magazine. Das Muster, das Torquato und seine Kollegen in den Primierungen entdeckten, ähnelt dem von Quasikristallen und einem anderen System, das als Grenzperiodische Ordnung bezeichnet wird, aber es unterscheidet sich so sehr, dass die Forscher es als « effektiv limit-periodische » Reihenfolge bezeichnen. Die Primzahlen erscheinen in « selbstähnlichen » Gruppierungen, was bedeutet, dass zwischen Spitzen bestimmter Höhen Gruppierungen kleinerer Spitzen usw. vorhanden sind. Es war das erste von vielen Treffen zwischen den beiden am Institute for Advanced Study in Princeton, N.J., wo Torquato ein Sabbatical verbrachte.

Der Chemiker sagte de Courcy-Irland, dass er seine Formel verwenden könnte, um die Häufigkeit von « Zwillingsprimieren » vorherzusagen, die Paare von Primierungen sind, die durch zwei getrennt sind, wie 17 und 19. Der Mathematiker antwortete, dass Torquato in der Tat alle anderen Trennungen vorhersagen könnte. Die Formel für die Bragg-Gipfel entsprach mathematisch der Hardy-Littlewood-K-Tupel-Vermutung, einer kraftvollen Aussage der englischen Mathematiker Godfrey Hardy und John Littlewood aus dem Jahr 1923, über die es « Konstellationen » von Primpen geben kann. Eine Regel verbietet drei aufeinander folgende ungerade Primzahlen nach 3, 5, 7, da eine in der Gruppe immer durch drei teilbar ist, wie in . Diese Regel veranschaulicht, warum die zweithellsten Spitzen im Beugungsmuster der Primzahl paare, die durch sechs und nicht durch vier voneinander getrennt sind. Zusammen mit seinem Studenten Ge Zhang und dem Zahlentheoretiker Matthew de-Courcy-Irland stellte Torquato rechnerisch die Primzahlen als eindimensionale Kette von Atomen und verstreutem Licht dar. Das Ergebnis, das letzte Woche im Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment veröffentlicht wurde, war verblüffend: Sie erzeugten nicht nur ein quasikristallines Interferenzmuster, sondern es war eine Art fraktales Muster, das noch nie zuvor gesehen wurde. Torquato sagte dem Quanta Magazine, dass dies impliziert, dass Primzahlen « eine völlig neue Kategorie von Strukturen sind », wenn sie als physisches System betrachtet werden.

Torquato erzählte de Courcy-Ireland, einem Abschlussstudenten in Princeton, der von einem anderen Mathematiker empfohlen worden war, dass er ein Jahr zuvor auf einer Ahnung Beugung an Sequenzen von Primzahlen durchgeführt hatte. In der Hoffnung, die schwer fassbare Ordnung in der Verteilung der Primzahlen hervorzuheben, hatten er und sein Schüler Ge Zhang sie als eine eindimensionale Sequenz von Teilchen modelliert – im Wesentlichen kleine Kugeln, die Licht streuen können. In Computerexperimenten prallten sie Licht aus langen Prime-Sequenzen, wie die Millionen-oder-so-Primzahlen ab 10.000.000.019.